Не с деепричастиями пишется согласно тому же правилу, что и не с глаголами, то есть раздельно во всех случаях, кроме слов, которые без не не существуют.
Например:
не задумываясь, не прочитав, не двигаясь.Они продолжали стоять на обрыве, не двигаясь, молча провожая взглядом удаляющийся состав.
Но: ненавидя, негодуя, недоумевая.
Ненавидя ложь, она заступилась за свою подругу.
Не также пишется слитно с деепричастиями, образованными от глаголов с приставко недо- (которая исторически представляет собой сочетание двух приставок: не- и до-): недоделав, недооценивая.